天文古玩

クラインの壺というのは、いったい何を表現しているのか、私にはかなり長いこと謎でした。

子供のころ聞きかじった知識にもとづいて、メビウスの輪は表裏のない平面（2次元）、そしてクラインの壺はその3次元版だと思いこんでいたのですが、でもそうだとすると、これのどこが表裏のない立体なんだろう？と、さっぱりわけが分かりませんでした。

よくよく話を聞いてみれば、上の解釈は完全な誤解。
要するに、この「壺」は、別に表裏のない（…ん？）3次元空間を表現しているわけではなくて、問題はあくまでも「壺」の表面（＝2次元）の性質がどうかであり、「表裏のない面から出来ている形」という意味では、メビウスの輪と同工異曲だったわけです。
（ウィキペディアには、「クラインの壺」は、そもそも「クラインの面」の誤訳だと書いてあって、腹に落ちました。）

では、クラインの壺のどこが3次元的かと言えば、メビウスの輪がリボンという2次元図形をひねって作られているのに対して、クラインの壺は、筒（チューブ）型という3次元図形をひねって作られているところが偉い（？）のでした。

本当はチューブを4次元空間内でひねれば、完全なクラインの壺ができるのですが、残念ながら我々にはできない芸当です。そこで、やむを得ず3次元空間内でひねったために、我々が目にするクラインの壺は、壺の口が壺本体を貫通（自己交差）してしまっています。この貫通部分が、一見何か曰くありげに見えるのですが、本当は壺本体に接触することなく、壺の口を壺内部に通さなければいけないので、4次元人から見れば、この貫通部分は曰くどころか、完全な失敗個所です。

そこで、この失敗部分を無視して、貫通部分に障壁がなく、自由に行き来できると想像すれば、確かにクラインの壺は表も裏もない面だと分かります（分かりますか？）。

さて、自分の無知をさらしているうちに紙幅が尽きました。
壺談義はもう一寸続きます。

（この項さらに続く）