卓上の住人…クラインの壺2009年09月01日 22時52分33秒


クラインの壺というのは、いったい何を表現しているのか、私にはかなり長いこと謎でした。

子供のころ聞きかじった知識にもとづいて、メビウスの輪は表裏のない平面(2次元)、そしてクラインの壺はその3次元版だと思いこんでいたのですが、でもそうだとすると、これのどこが表裏のない立体なんだろう?と、さっぱりわけが分かりませんでした。

よくよく話を聞いてみれば、上の解釈は完全な誤解。
要するに、この「壺」は、別に表裏のない(…ん?)3次元空間を表現しているわけではなくて、問題はあくまでも「壺」の表面(=2次元)の性質がどうかであり、「表裏のない面から出来ている形」という意味では、メビウスの輪と同工異曲だったわけです。
(ウィキペディアには、「クラインの壺」は、そもそも「クラインの面」の誤訳だと書いてあって、腹に落ちました。)

では、クラインの壺のどこが3次元的かと言えば、メビウスの輪がリボンという2次元図形をひねって作られているのに対して、クラインの壺は、筒(チューブ)型という3次元図形をひねって作られているところが偉い(?)のでした。

本当はチューブを4次元空間内でひねれば、完全なクラインの壺ができるのですが、残念ながら我々にはできない芸当です。そこで、やむを得ず3次元空間内でひねったために、我々が目にするクラインの壺は、壺の口が壺本体を貫通(自己交差)してしまっています。この貫通部分が、一見何か曰くありげに見えるのですが、本当は壺本体に接触することなく、壺の口を壺内部に通さなければいけないので、4次元人から見れば、この貫通部分は曰くどころか、完全な失敗個所です。

そこで、この失敗部分を無視して、貫通部分に障壁がなく、自由に行き来できると想像すれば、確かにクラインの壺は表も裏もない面だと分かります(分かりますか?)。

さて、自分の無知をさらしているうちに紙幅が尽きました。
壺談義はもう一寸続きます。

(この項さらに続く)

コメント

_ ガラクマ ― 2009年09月03日 23時49分43秒

 写真の壷は、少し外すところが壷を心得ております。

話横道ですが、クラインの壺というと、アンコウと靴下が連想されます。
アンコウが深海から引き上げれた時には内蔵が口から飛び出してきております。
子供達が小さいとき、大あくびしている時に、「そんな大あくびしてると、体裏ッ返しになるぞ!」と、冗談でよく言ったものです。
靴下って、表と裏、クルって簡単にひっくり返せますが、確かに縫い目、折り目からどちらかを表にしないと・・とは思いますが、今の技術ではできないでしょうか?両面表。

 最近不勉強で理解できておりませんですが、昔よく話題に上がっていたブラックホール&ホワイトホール。なぜにホワイトホールの話題が最近なくなってきてるのでしょうか?
ブラックホール&ホワイトホール、これって表と裏でしょうか?

_ 玉青 ― 2009年09月04日 21時14分07秒

人体は結局1本の筒ですから、伸縮性に富んだ素材でできていたら、うまくクルリとひっくり返せそうですね。あまり愉快な映像ではないかもしれませんが。

ホワイトホールも、ブラックホールのように、それらしいものが現実に見つかると、きっとまた話題になるんでしょうが、今のところは企画倒れ気味といった感じでしょうか。
(両者の関係は何なんでしょうね。表と裏というか、表門と裏門というか、口とお尻…?)

_ S.U ― 2009年09月05日 07時44分05秒

そういえば、昔、ホワイトホールというのがありましたね。ちょっとお邪魔させてください。
 ホワイトホールはブラックホールの時間反転解だということですので、ブラックホールが「滝」ならば、ホワイトホールは「噴水」(間歇泉)といったところでしょうか。両者は、どちらも同じ物理法則に従っていて、どちらも存在しうるものです。しかし、1点から円形に広がっていく水面の波はあっても、円形がすぼまって1点に集まるような波は観測されない、というように、時間反転解が自然界に存在するかどうかは物理法則だけでは論じることのできない難しい問題です。
 最近は、ブラックホールの蒸発(ホーキング放射)が有力なあり得べき説として定着したので、存在するかどうかわからないホワイトホールは影をひそめたのだと推測します。

なお、時間反転と、空間反転(右手用の手袋を裏返して左手用にするような変換)は、どちらかにさらに荷電変換(粒子を反粒子に置き換える)を施せば同等である、といわれています。

_ 玉青 ― 2009年09月05日 19時26分15秒

なるほど!…と即座に理解できたらいいのですが(苦)。

どうも「反転」という操作が、いろいろなところで効いてきますね。
まあ何でも考え出すと不思議でないものはないですが、そもそも人間が「反転」という概念を認識できるのも不思議ですし、自然界における左右の問題と並んで、『反転の科学哲学』というような本があってもよさそうですね。

_ S.U ― 2009年09月05日 21時05分47秒

>そもそも人間が「反転」という概念を認識できるのも不思議

 本当におっしゃる通りだと思います。
 物理学でいう「反転」は、「物理法則」を反転するのではなく、自然にある物を反転するのでもありません。自然現象を人間の想像で反転させ、それと同等の自然現象を見いだして観察するわけです。このような想像をするにはやはり努力を要します。ガラクマさんのおっしゃる、「体が裏ッ返しになるぞ」という冗談を真に受けてリアルな光景を想像してしまって気分が悪くなる人、はその種の才能があるのかもしれません。

_ ガラクマ ― 2009年09月06日 23時21分53秒

 クラインの壷の表面を歩いている人(2次元的)には、表も裏もわかりませんので、「反転」の概念は生まれないでしょうから、次元をひとつ加えてやることが必要です。メビウスの輪も同じですね。
これを、宇宙と時間について考えると、3次元的に今の時間の進みかたは、4次元的にはどうんなんでしょう?

 ビッグバンを発端とする宇宙の歴史についても今は、膨張を続けているように見えますが、次元を追加するとどこかに収縮しているのかもしれません。
ビッグバンは50回目だ、200回目だという話も聞いたことがあります。その説を詳しく知りませんので、その根拠については分りませんが、時間の次元にもう1次元足した5次元からみると、それもクラインの壷の表裏の話と同じで意味の無いものかもしれません。
まあ、そこまで行くと神のみぞ知る領域とは思いますが、人間の欲望として知りたいものです。
 少しスケールダウンしますが(それでも十分大きなスケールですが)、宇宙140億年、太陽系約50億年、原始太陽系星雲時代も合わせても宇宙の歴史に比べ十分短いと思いますが、その前に太陽系の場所に1世代前の太陽系があっても不思議ではありません。
そこには現在の人類をはるかに超える超文明があって、それが現在の太陽系に痕跡を残しているかもしれません。
昔から知りたいのですが、地球外文明を探すにSETIとかもいいですが、まずは太陽系、特に地球の元素、ご先祖様の痕跡が発見できないかと思っております。
  (ちょっと外れすぎて申し訳ありません)

_ 玉青 ― 2009年09月07日 20時50分42秒

うーむむむ…2次元人にもなかなかの知恵者がいて、右巻きの渦巻きと、左巻きの渦巻きは、3次元でクルリと回すと同じものになることを見抜いている、ということはないでしょうか。反転操作を「直覚」することと、思弁的に「観念」することは、別次元の問題かもしれません。

一見「膨張」と見えるものが、高次から見ると「収縮」に見えるというと…たとえば、2次元でいうと、トイレットペーパーをカラカラ引き出す一方で、それをハイスピードで折り畳んでいくような、「高次への巻き上げ」操作を伴うような場合でしょうか。

うーむむむむむ…この辺は「餅屋」のS.Uさんにお答えいただきたいところです。(私はガラクマさんの論点を誤解しているかもしれません。)

太陽系以前の高度な文明は、今の地球の近傍にあったかどうかは謎ですが、どこかにはあってもおかしくはないですよね。というか、きっとあったでしょう。そして地球が滅びた後にも、数限りなく誕生するのでしょうね。今の宇宙はまだまだ幼児期で、寿命を迎えるまでには当分かかるそうですから。

_ S.U ― 2009年09月08日 07時51分40秒

せっかく振っていただいたようですが、どうも「餅屋」とはいえないようで、次元が増えるともうさっぱりです。ガラクマさんのおっしゃるようなこともありうるのかなぁ、とぼーっと考えるだけです。
 現在人間が観測できる範囲の宇宙においては物理法則の縛りが働いていて、どういうことが起こるかある程度はわかるのですが、宇宙で一度こっきりの宇宙の始まりや終わりになると、そのタガもはずれてしまって、もう「何でもアリ」になるように思います。

_ ガラクマ ― 2009年09月08日 21時33分20秒

この手の妄想をはじめると、際限も無く暴走してしまうため、自分ではストーリーを作っているはずでも、支離滅裂になってしまいます。
このお話は、この辺で置いときます。

ご存知かとは思いますが・・
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%82%AF%E5%AE%87%E5%AE%99%E8%AB%96

_ 玉青 ― 2009年09月09日 20時28分03秒

○S.Uさま

勝手に振ってしまい、申し訳ありません。
>もう「何でもアリ」
何だか賑やかでいいですね。いわば、宇宙の開店・閉店セールでしょうか。で、ガラクマさんご紹介の「サイクリック宇宙論」によれば、この店は閉店してもまたすぐ開店するようで、何だかパチンコ屋みたいですが、宇宙の場合も陰にいる経営者は結局同じなんでしょうかね…

○ガラクマさま

了解です。それではまた話題を変えて、大いに談じ、興ずることに致しましょう。

ご紹介の記事を見たら、現在の宇宙はもう壮年期だという論もあるとのこと。若い若いと思っていたら、いつの間にやら中年だったという、いささか身につまされる話です。

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