天文古玩

>レンガ説
　～原子がレンガであったなら～
　学生時代は原子物理学研究室に机を拝借していましたが、不勉強がたたりアウイのレンガ説はついぞ知りませんでした。というか、私もレンガ説は当然で、それのどこが悪いと考えていました。英語では、原子や素粒子のことを"building blocks of matter"と表現しますので、これは誰でもそのようです。
http://www.exploratorium.edu/origins/cern/ideas/standard.html

>レンガ説では矛盾する事実
　ひとつ思いついたのは、氷、ダイヤモンド、四面銅鉱のような正四面体構造の結晶がありますよね。正四面体のレンガを面が密着するようにうまく積んで正四面体の構造を作ることはどうも不可能のようで、これはレンガ説の反証になるのではないでしょうか。（昨夜から考えているのですが、脳味噌がテトラポッドになってよくわかりません）　立方体を積んで立方体は当然出来ますし、レンガでピラミッドを作る要領で正八面体に近い形も作れます。でも、立方体で正四面体構造が作れるとは思えません。正四面体の頂点同士が触れ合うように積めば、正四面体がつくれるので、これがすなわちダイヤモンドの格子構造と理解します。
　
　数学では、多面体による空間充填という問題があり、正四面体で空間充填は出来ないようです。Wikipediaで「空間充填」を参照すると、それは、結晶構造のブラべー格子の解説と似たような構成になっていました。ブラべー格子は、多面体の「空間充填」に対応する格子バージョンと言えるのでしょうか（ご解説をお待ちしております）。

おお、これは心強い助鉄砲を撃っていただき、ありがとうございます。
レンガ説で矛盾する事実として、前掲の堀秀道氏が挙げていらしたのも、まさにS.Uさんがご指摘の点でした（堀氏は八面体のレンガを積み重ねて正方形の結晶を作る困難さ＝蛍石の場合、を挙げていました）。
告白ついでに言うと、これが格子説になるとどう解決がつくのか、今ひとつつかみかねています。
そしてブラベー格子の「解説」はいっそう心もとないですが、うーん、どうなるでしょうね。自分でも分からずに書いている（書きながら考えている）ので、着地点はまったく不明です。。。

空間充填問題と格子の問題は、「双対変換」という操作で繫がっているらしいです。空間に規則的に詰まった何らかの多面体による空間充填は、その個々の多面体の面心や体心を格子点と考えた格子構造ができ、これを利用すると、「格子説」と「レンガ説」で同種の対称性を持つ構造が結びつけられるのではないかと思いますが、これについて着目すべき点があれば、また詳しい方からのお声を待つことにしたいと思います。

　前のコメントからの流れで興味ある問題は、正四面体の頂点を積み上げたダイヤモンド結晶構造からどんな多面体の空間充填がつくれるか、また四面銅鉱の結晶格子はどうなっているか、ということですが、私の脳味噌ではすでにテトラポッドが溶解してテトラパックになって崩れかけていますので、また、どなたかお教え下さい。

>空間充填問題と格子の問題

今日の記事に出てきたYouTubeの動画にも、このことがチラッと出てきて、この２つの問題が何か関係がある…ということは辛うじて想像がつきました。が、S.Uさんのお言葉も私の中では完全に溶解状態なので、私からも皆さんに重ねてお願い申し上げます。

　この「双対性(duality)」というのは大学での数学や物理で出てきて非常に理解しにくかった概念なのですが、8/16の欄でご紹介の蛍石の結晶の写真とYouTubeの英語のビデオ解説を見て、立方体と正八面体の例がわかりやすい例ではないかと思いました。

　面心立方格子の面心にある原子だけに着目しますとこれは正八面体になります。立方体が正八面体を内包していて、さらに、正八面体の面心をつなぐとまた小さい立方体になります。こういうのを「双対多面体」という呼ぶそうです。（Wikipediaで「双対多面体」あるいは「双対」をご参照ください。確かに、「双対」の概念の冒頭の例として「双対多面体」が上がっています。）

　「双対」（「そうつい」と読むと習いました）のニュアンスを理解するには、いくつかの用例が必要でその後10年以上を要しましたが、今はWikipediaで系統的に種々の分野での使用例を知ることが出来て、便利になりました。

付記：8/17の欄（行き違いでアップされているのを拝見しました）で、「直方格子」であってほしいのが「斜方（ひし形もどき）格子」になっているというのがありましたが、直方体の面心をつないで「双対格子」を作ると、ひし形がもとの直方体の断面に３方向に出てくるので、このへんに由来があると考えることもできないでしょうか。

あ、先ほどまで全然分かってませんでしたが、「双対変換」のページを見て記憶がゆらりと甦ってきました。そういえば、昔、ケプラーについて話しているときに、正多面体の話題がありましたね。あの後、どうも「物の形」ということが気になって、大枚はたいて木製多面体モデルを買い込んだんですよ。その解説を読んで、はてなマークを頭上に浮かべつつ、双対変換のことが盛んに脳内を去来していたのを思い出しました。なるほど、あれと結晶格子の話題はつながってくるわけですね。

>ひし形がもとの直方体の断面に３方向に出てくるので、このへんに由来が

「斜方」に関していうと、どうも鉱物学者は石部金吉の類で、そんな気の利いたことはするまい…というイメージがあります。（他の用語も全部直訳ですから、orthorhombicもおそらくは…）

それにしても、双対というのは、この世界のあちこちに顔を出す不思議な性質ですね。
たぶん人間の精神とか社会にも、チラチラ顔を出してるんじゃないでしょうか。
（親に反発して、まったく違う生き方を選びながら、その子供がまた親に反発して祖父母の生き方をなぞる…というパターンを思い浮かべました・笑）

>たぶん人間の精神とか社会にも、チラチラ
　「双対」は、数学、物理には珍しい「ユルイ」概念なので、人間社会の機微に通じた人のほうが理解しやすいかもしれませんね（笑）。そして、子が親を反面教師にして見た目はぜんぜん違う生活をしているが、血は争えず構造としては似たような人生を歩んでいるとしたら、これまたすばらしい。

　このようなユルイ数学・物理概念は他にもあって、私は苦手だったのでいくつか記憶に残っています。また機会があればご紹介して、よい比喩をいただきたいと存じます。