ケプラーの入れ子(後編)2016年12月16日 06時21分57秒

今回、ケプラーの太陽系モデルを注文したのは、現在ボストンを拠点に活躍している造形作家、バスシバ・グロスマンさんのサイトを通じてです。

Bathsheba Sculpture http://bathsheba.com/

バスシバさんは、数学や科学の世界に登場する不思議な「かたち」の数々を、金属やレーザークリスタルで再現した作品を手がけていて、数年前にもガラスの銀河系モデルを紹介したことがあります。


化粧箱を開けると、8センチ角のガラスキューブが顔を出し、ケプラーのモデルはその内部に存在します。


なかなかこれが写真に撮りにくいのですが、真横から見ると下のような姿です。


正多面体の入れ子と、それを覆う球殻層――キューブの右下に見られるように、このモデルでは、全球ではなく半球としてそれが表現されています――が、ガラスの中に浮かんでいます。


このモデルは、ちょうど上の図と同じ形になっていて、正十二面体とそれに外接する火星軌道までが表現されています。(さらに外側の木星と土星まで含めると、全体が大きくなり過ぎて、手で持てなくなるか、逆に中心部が小さくなり過ぎて、何だかわけが分からなくなるせいでしょう。)


微細な気泡が描く、ケプラーのイマジネーション。


裏返しにして、積み重なる球殻層を通して太陽系を眺めたところ。
なんと儚く、美しい宇宙モデルでしょうか。

400年前、天空を見上げるケプラーの目には、透明な球体と巨大な多面体がはっきりと見えていたはずです。

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【閑語】(ブログ内ブログ)

最近の日本を見ていて思い浮かぶのは、「自己家畜化」という言葉です。
「自己家畜化」自体は、ヒトという生物種の特殊性を説明するための概念で、別にシニカルな意味は含まないのですが、どうも今の日本ではその域を超えて、急速に家畜化が進んでいるのではないか…と気懸りです。

ケプラーの入れ子(前編)2016年12月15日 10時50分31秒

お釈迦様がいみじくも説かれたように、人の生の本質は「苦」であり、この世はあらゆる業苦に満ちています。今の世界を見渡せば、その言葉の正しさをあえて否定できなかろうと思います。そして、人間の心のうちには、それとは反対のものを求める心がありますから、優しい光を投げかける満月を見上げれば、ふと欣求浄土の念がきざしたりします。昨夜は家路をたどりながら、そんな思いで月を眺めていました。

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さて、ケプラーが「多面体の入れ子」として太陽系をイメージしたことは、これまで折に触れて記事のネタにしてきました。その中でわりとまとまっているのが以下の記事。

■ケプラーの多面体宇宙モデル
 http://mononoke.asablo.jp/blog/2011/07/08/

(画像再掲)

ケプラーの説をいちいち言葉にすれば、こういうことです。

まず太陽の周囲を回る水星軌道を大円とする球を描いてごらん。

次にこの「水星球」に外接する正八面体と、それに外接する球を描いてごらん。
そこに金星軌道が浮かび上がるだろう。

今度は「金星球」に外接する正二十面体と、それに外接する球を描いてごらん。
そこに地球軌道が浮かび上がるだろう。

続けて「地球球」に外接する正十二面体と、それに外接する球を描いてごらん。
そこに火星軌道が浮かび上がるだろう。

さらに「火星球」に外接する正四面体と、それに外接する球を描いてごらん。
そこに木星軌道が浮かび上がるだろう。

最後に「木星球」に外接する正六面体と、それに外接する球を描いてごらん。
そこに土星軌道が浮かび上がるだろう。

…そして「土星球」の外側に、もはや惑星は存在しない。
なぜなら、正多面体はこの5種類でおしまいだからだ。これが宇宙の摂理なのだ。

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もちろん土星外の惑星が発見された今、これは単なる奇説に過ぎません(もし発見されてなくたって、十分奇説でしょう)。
でも奇説にしても、ちょっと美しい奇説です。

この奇説を手に取って眺めたいと思い立ち、いろいろ探しました。
それが黒い箱に入って届いたので、ここで眺めておきます。


(後編につづく)

ソリッド感を求めて(後編)2016年02月15日 06時25分20秒

ステレオスコープを応用した、立体幾何学の教材。
その解説冊子の裏表紙を見ると、


完璧な新分野」、「全学級において、日々の授業を行うに際して立体写真を用いるべきことは明白。」、「まこと幾何学の教師にとって、一揃いの良き立体図を備えたステレオスコープ以上に有用な道具のあることを私は知らない。」

…というようなことを、幾何学の大家らしい人が特筆大書しています。


中身は25枚のカードから成り、各カードのサイズは、約9×18cm。
ニューヨークのステレオ写真メーカー、Underwood & Underwood 社が、1907年に発行したものです。

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その内容はというと、前半は平面と直線の性質に関する『ユークリッド原論 第11巻』に含まれる、もろもろの命題(たとえば命題4、「交わる2直線に垂直な直線はそれらを通る平面にも垂直」など)を取り上げ、後半では、種々の立体図形の性質や、透視図の原理、球面座標の考え方などを取り上げています。

数学についてはいささか○○なので、その内容を詳しく語ることはしませんが、黒板に難しい図を骨折って描くよりも、ステレオビュアーでサクッと立体視できれば、先生も楽だし、生徒の理解も進むだろう…という期待の下に生まれた、20世紀の新教材です。



まあ、↑↑や↑程度の図ならば、あえて立体視するまでもなく、だいたいイメージできる気はしますが、それでも真っ白な空間に、抽象的な立体がふわっと浮かび上がる瞬間は、ちょっと感動的です。いわば抽象が具象化する感じです。


そして、こんな↑複雑な図でも、


ビュアーにセットして、


エイヤっと覗けば、


直線や曲線の相互関係は、文字通り一目瞭然。

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ここに浮かび上がるソリッド感は、確かに真のソリッドとは程遠い幻影にすぎません。
でも、硬くて緻密な真にソリッドな物体にしたって、そう感じるのは、やっぱり人間の脳が生み出した幻にすぎない…という言い方もできます。

ソリッド感を求めて(前編)2016年02月14日 13時51分50秒

ペラペラの絵葉書が続いたので、この辺で何かソリッド感がほしいところ。
そこで、こんなものを載せます。


「なんだ、紙の本か。あんまりソリッドじゃないな…」
と思いつつ、手に取ると、


これは本ではなくて、紙のケースになっています。
「ふむふむ、この辺が一寸ソリッドかな…」
とさらに中身を取り出すと、


中にはカードの束と冊子が入っています。



冊子のタイトルは、『ステレオスコープによる立体幾何学(solid geometry
なるほど!これはソリッドですね。

ソリッド感(固体っぽさ)は薄いですが、自らソリッドを名乗るぐらいですから、これはもう立派にソリッド(立体的)です。しかも、それをステレオスコープで覗くとなれば、話はますます立体的になってきます。

(と話が十分ソリッドになったところで、この項つづく)

質素な定規セットと「時代」の気分2015年10月04日 13時40分11秒

おそらく1930~40年代にさかのぼるであろう、古い児童用の定規セット。
イギリスの売り手は、これをお父さんの遺品から見つけたそうです。


箱には少年の後姿と、「The “Pupil’s Own”」「Complete and Accurate」という文字。
前者がちょっと訳しにくいですが、「僕らの製図セット」「正確無比」といったところでしょう。訳はともかく、このクォーテーションマークに込められた気持ち―それを手にした子どものプライドと満足感―は、たいへんよく分かる気がします。




古びた金属の味わい。


この魚の定規(?)は、いったい何に使うんでしょうか。

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8月から9月にかけてブログの更新を休んでいた時、「自分にとってのノスタルジーとは何だろう?」と考えていました。そして、そのときの気分にしっくり合ったのが、このセットでした。


それが何故か…というのは、曰く言い難いのですが、こういう質素な―あえて言えば貧し気な―風情に、私はひどく弱いところがあります。そこには一種の自己憐憫の情がまじっている気がするんですが、こういうのを前にすると、何だかいじらしいような、無性に涙ぐまれるような気分になります。

そこには、かつての自分の「貧」が、影を落としているのでしょう(まあ、今も貧しいんですが、子供の頃はもっと切実でした)。私が21世紀の規範から外れて、不要なモノを買い続けるのは、そこに慢性的な飢餓感があるせいだと思います。

とはいえ、貧しさの一方で、当時の自分が、とても充実していたのも確かです。
子供時代の自分が、そうとはっきり意識していたわけではありませんが、やはりあれも日本が右肩上がりだったからこその、一種の「時代の気分」だったのかもしれません。

   ★

ところで、この定規が届いた時、余りに埃まみれだったので、ちょっと水洗いしたんですが、手を滑らせて取り落としたら、三角定規がストンと床に刺さり、そのまま直立。思わず総毛立ちました。


油断していると危険きわまりないですが、昔の子どもだったら、喜んで手裏剣遊びの道具にしたかも。

マテマティ家の紋章…カテゴリー縦覧:数学・図形編2015年05月23日 16時25分10秒

さて、カテゴリー縦覧はさらに進んで数学へ。


しかし、数学の話題になると、こんなふうにすぐ早蕨の萌えいづる春となって、私の理解を超えてしまいます。ですから数学の話題といっても、このブログでは、せいぜいが四則演算止まりです。


キーボードの隅にちょこんと置かれたのは、


極小のピンバッジ。その大きさは小指の爪ほどしかありません。
しかし、四則の演算記号を紋章風にあしらったデザインは秀逸で、最初見たとき、安野光雅画伯の数学絵本の表紙絵のようだと思いました。

このピンバッジ、より正確に言うと「ラペルピン」という奴で、いわゆる襟章です。

上部に書かれた「COMPTOMETER」とは、アメリカで1880年代に生まれた機械式計算機の名称で、熟練したオペレーターの手にかかると、日本のソロバン同様、素晴らしい速さで加減乗除をこなしたものだそうです。コンプトメーターは、その高い実用性から、戦後も長いこと現役であり続け、1970年代まで製造が続けられたとか。

この襟章は、その熟練オペレーターを賞するためにメーカーが授与したもので、1920年代頃のものと聞きました。


本来はゴールドのチェーンがあしらわれていたようですが、今は失われています。

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ところで数学記号の由来は、諸説入り乱れていて、中にはずいぶんと怪し気な説も耳にします。まあ由来はともかく、その初出年代については、以下のページが信頼できそうです。

Table of mathematical symbols by introduction date(Wikipedia)
 http://en.wikipedia.org/wiki/Table_of_mathematical_symbols_by_introduction_date

これによると、四則に関していちばん早く登場したのは、「+」の1360年頃。
以下、「-」1489年、「×」1618年、「÷」1659年となっているので、仮に上の紋章が実在するとしても、17世紀後半以降のものということになります。

螺旋蒐集(7)…存在の始原へ2014年01月05日 08時01分42秒

夢枕獏氏の『上弦の月を喰べる獅子』は、「SFマガジン」誌に連載され、後に日本SF大賞を受賞しました。ですから、一般にはSF小説に分類されるのでしょう。ただ、いわゆるサイエンス・フィクションとは遠いテーマであるのも確かです。以下、作品の終盤。

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賢治と「螺旋蒐集家」が融合することによって異界に突如出現した男、アシュヴィンは、数々の経験を経て、ついに蘇迷楼(スメール、世界の中心にそびえる須弥山のこと)の頂にある獅子宮の中に足を踏み入れます。

 螺旋蒐集家は、螺旋階段を登り、最後の一段を踏み出したのであった。
 岩手の詩人は、オウムガイの対数螺旋の極に、たどりついたのであった。

そこでアシュヴィンを待ち受けるのは二つの問。もし彼がそれらに正しく答えられたら、世界は消滅すると言い伝えられていました。しかし、アシュヴィンは己の運命に従い、問と正面から向き合います。その二つの問とは、汝は何者であるか?、そして朝には四本足、昼には二本足、夕には三本足の生き物がいる。それは、何であるか?」というものです。

もちろん、二番目の問は有名なスフィンクスの謎ですが、答は単純に「人間」なのではありません。ここで仏典を連想させるやりとりがいろいろあって、アシュヴィンは見事二つの問に答を与えます。と同時に、問う者と問われる者の合一が生じ、ここに最後の問が自ずと発せられます。

 「野に咲く花は幸福せであろうか?」
 問うた時、そこに、答はあった。
 問うたその瞬間に答が生じ、問がそのまま答となった。
 野に咲く花は、すでに答であるが故に問わない。
 もはや、そこには、問も答も存在しなかった。


これが作品のクライマックスで、この後、現世における螺旋蒐集家と賢治の死、それに釈迦の誕生シーンがエピローグ的に描かれて、作品は終っています。(それによって、2人の物語は釈迦の“過去世”を説く本生譚だったことが明らかとなり、時空を超えた不思議な螺旋構造が読者に示されるわけです。)

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昨年のクリスマス・イヴに、インドの古都から届いた古い巻物。
ここには生命の根源的秘密が図示されている…
と、無理やり話を盛り上げる必要もありませんが、でもまんざら嘘でもありません。


届いたのはインドの学校で使われていたDNAの掛図です。表面のニスの加減でずいぶん時代がついて見えますが、1985年のコピーライト表示が見えるので、比較的新しいものです。

まあ、DNAの掛図を、わざわざインドから取り寄せる必然性は全くないんですが、当時は獏氏の本を読んだばかりだったので、インドと生命の螺旋というタームが心にいたく響き、ぜひ買わないといけない気がしました。


私たちの体が2個の蝸牛のみならず、何千兆もの螺旋体で満ちあふれ、それが生命そのものを律しているのは紛れもない事実ですから、インド云々はさておき、螺旋蒐集上やっぱりこれは見逃せない品だと思うのです。


まあ、監修者のデシュ・バンドゥ・シャルマ博士にしてみれば、およそ妙なこだわりと感じられるに違いありません。平均的日本人にとって、インドは依然何かしら神秘と結びつく国だと思いますが、あるいは先方からすれば、日本こそ怪しい国なのかも。

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いつも同様、さっぱり要領を得ないまま、ひとまず螺旋の話題はこれで終わります。

螺旋蒐集(6)…音響螺旋体2014年01月03日 09時50分33秒

多様な生物が螺旋を愛し、螺旋をその身にまとっている。ならばヒトだって…
と、身の内をしげしげ眺めたら、果たして1対の巻貝が頭蓋内に生息しているのを見出しました。


その生息地は耳の奥。


洞窟のような耳道をたどり、鼓膜も越えたさらにその奥に巻貝は眠っています。



蝸牛(かぎゅう)。訓読みすればカタツムリ。
前庭や三半規管とともに内耳を構成する器官です。

ここから先はニューロンの世界。空気の物理的振動が「聴覚体験」へと変容する入口。この貝殻の奥で物質と精神がせめぎ合い、文字通りGHOST IN THE SHELLが跳梁するわけです。


この耳の解剖模型は中村理科工業(現ナリカ)製。おそらく1960年代の品。
(台座の「寄43-4」の文字は、昭和43年(1968)4月寄贈の意味でしょう。)

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 私の耳は貝のから
 海の響をなつかしむ―

螺旋蒐集(5)…透明螺旋体2014年01月02日 10時48分20秒

先ほどまで黒雲が空を覆っていました。
北の地方では大雪に警戒するよう、ニュースは伝えています。
せめて三が日ぐらい…と思いますが、自然には自然のリズムがあるのでしょう。

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ふと、ガラスでできた巻貝があったらいいなと思いました。殻を打ち欠くような無粋な真似をしなくても、その螺旋全体を見通せる透き通った貝が。
この世のどこかにきっとあるはず…と思って探したら、ありました。



透明な貝と、海の記憶を宿したパープルの貝。
(最長の差し渡しは、それぞれ約8cmと5cm)

これらは単なるオブジェではなく、ある実用的な目的のために作られました。


それは飼育ヤドカリ用の「擬貝」です。
私は今回初めて知りましたが、数年前、こういう↑画像がネット上で話題になったことがあるそうです。その秘めた私生活が丸見えとなり、しかも普通の貝より重いという、ヤドカリにとってはいくぶん迷惑な話なのですが、趣向としては面白く、単に手元に置いて眺めるだけでも愉しいひと品。

(Double Spirals)

以前、宇宙を覆いつくす巨大な螺旋のイメージについて語りましたが、こんなふうに「2つの螺旋」を並べてみると、ちょっとそれらしく感じられます。(背景は、リック天文台が出した写真集『Publications of the Lick Observatory Vol.8: Nebulae and Clusters』(1908)より、しし座の渦巻き銀河M65)

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このガラスの貝は、米国バーモント州のRobert DuGrenier さんが手作りしています。

■Robert DuGrenier Associates, Inc.
 http://www.tafthill.com/

螺旋蒐集(4)…さらにミクロ・スパイラル2013年12月31日 08時44分26秒

昨日のヌムリテスと同時に買ったプレパラート。


楊枝の先に隠れるほどの極小の螺旋。頭足類(オウムガイ、アンモナイト)、有孔虫と見てきて、いよいよホンモノの巻貝(腹足類)の登場です。
…と思いきや、やっぱりこれも貝ではなくて、多毛類、すなわちゴカイの仲間の棲管だそうです。螺旋状の殻は巻貝の専売特許ではなく、いろいろな生物に愛されているのだなあと改めて感じます。

海辺でこんなもの↓を目にされた方も多いでしょう。これも管棲多毛類が作り出した石灰質の管。管の主はこの先端から房状の触手を広げ、海中の養分を濾し取って生活しています。海の生物に親しい方には、あるいはゴカイよりもケヤリムシの仲間といった方が分かりやすいかもしれませんね。

(家族と行った海の思い出。棲管群の左右長は約7cm。)

こうした素麺状の棲管を作るカンザシゴカイ科に対して、くるっと巻いた棲管を作る方はウズマキゴカイ科に分類されます。

(この渦巻たちは、イギリス南部、ドーセットの浜辺に打ち上げられた海藻に固着していたようです。)

プレパラートのラベルに書かれた学名は Spirorbis spirorbis
属名も種小名も、スパイラルを意味する語が、2つも並んでいます。さらにウズマキゴカイ科の科名は Spirorbidae なので、本当にぐるんぐるん回りっぱなしの感じです。その身は小なりといえど、螺旋蒐集の徒にとっては、決して見逃せない相手でしょう。

(この項つづく)