天文古玩

面白そうな問題ですね。問題の正答率を問題にする問題は初めて見ました。それで、２，３質問させていただいてよろしいでしょうか。（玉青さんの最後に書かれている問題についての質問とお考え下さるようお願いします）

　この「この問題」というのは、まさに「この問題そのもの」という意味でしょうか？　始めのミリオネラの画面では"this"とあるので、まさにその意味だと思いますが、別の可能性として、ある提示可能な特定の問題（英語なら the、数学なら∃）、あるいは一般にあるどんな問題でもよい（英語なら a、数学なら∀）の場合の問題もありうるので、一応確認させて下さい。

２番目の質問として、「D：決められない」というのは、どういう意味でしょうか。確率なのだから、問題が決まっている場合（上でいうと、this　と　theの場合は、問題が決まっていると解釈します）は、確率は潜在的に決まっているはずなので、Dは不正解に決定と考えてよろしいのでしょうか？

　演繹的には無限連鎖を起こしても、完全にランダムならば計算機シミュレーションが可能なので実際にやってみればよいということになると思います。やると、「思考実験」だけで、A, B, C, Dそれぞれ25%になることは明らかです。問題は、問題の定義がはっきりしないことですが、thisあるいはtheの時はそれなりに決まっているのだから、それに矛盾しない答えはそれぞれの定義について帰納的に定まりそうに思いますがどうでしょうか。

　ただし、問題として成立しない、自己撞着的なパラドックスが残る可能性はあるように思います。たとえば、類似の問題として、A, B, Cがいずれも明らかに不正解の数値で、Dが「この４つの選択肢中に正解はない」という問題なら、Dが正解でも不正解でも自分に矛盾します。

お尋ねの点に関して言うと、１点目はまさに「今問うている、この問題そのもの」です。

２点目については、単に「その確率を決定することはできない」という意味です。あるいは、「この問題は、確率で答えることのできない性質の問題である」と言い換え可能かもしれません。私にはどうも、「問題が決まっている場合〔…〕は、確率は潜在的に決まっているはず」というステートメントが自明と思えなくて、ひょっとしたら、確率の決められない問題のほうが、この世には多いんじゃないかと感じています。（例えば、「神様がいる確率」とか、「来世で私が億万長者になる確率」とか、問うことはできても、答えられない問題って無数にありますよね。）

ですから、
「来世で私が億万長者になる確率は？　A：25％、B：50％、C：100％、D：その確率を決定することはできない」
という設問だったら、答はＣと言いたいところですが、まあ正解はＤでしょう。

次いで本題の
「この問題の答をランダムに選んだ場合、それが正解である確率は？　A：25％、B：50％、C：100％、D：その確率を決定することはできない」
も、正解はＤだというのが、私の考えです。

ちなみに、上の問題は私の作問ミスで、選択肢Ｃは「75％」にした方が面白いです。

「この問題の答をランダムに選んだ場合、それが正解である確率は？　A：25％、B：50％、C：75％、D：その確率を決定することはできない」

だったら、これまたＤが正解とすると、ランダムにＤを選ぶ確率は25％ですから、Ａも正解になります。そしてＤとＡが両方正解ならば、Ｂも正解。さらにＤとＡとＢが正解なら、Ｃも正解になって、結局、全部正解になる。「じゃあ、正解確率は100％で、どの選択肢も間違いじゃないか。あれれ？」…というわけです。

まあ。「確率を決定できない」んだったら、それが「25％」に決まるはずもないので、最初っからおかしいのですが、論理的にどこがどうおかしいのか、未だにうまく説明できません。

お答えありがとうございます。
おっしゃることは、すべて理解できたように思います。しかも、肯定的に理解しました。私もそのように思います。

　ただし、ことによっては、

「あることが起こる確率は、その定義に矛盾も曖昧さもない場合は、（潜在的に）決定している」

ということを一つの「公理」として導入することは可能なように思います。

　この「確率決定公理」を採用すると、玉青さんの設問でＤは即座に不正答となり、「Ａ：２５％」のみが正答となって、何の矛盾も曖昧さも残りません。

　冒頭のミリオネア画面の問題は、いかなる選択肢の正答不正答の組み合わせも自己矛盾を来たしますよね。これら選択肢は確率定義の一部ですから、定義に矛盾があり公理以前に門前払いとなります。

　また、この公理によれば、「神様がいる確率」「来世で私が億万長者になる確率」は、神様の定義、存在の想定範囲、確率計算の基礎的手法（現存情報、推定原理の仮定など）、来世の決定可能性、億万長者の相場･･･など、必要な定義を補っていって曖昧さを消せば、確率は潜在的に決定していることになります。これは、あながち無理ではないでしょう。

　ただ、私にもこの公理が正しいかはわかりません。将来の量子力学の発展によって否定されるかもしれません。しかし、数学の「選択公理」に近いような感じがしますので、純粋数学としてはＯＫな気がします。（「選択公理」は一般的な複数の集合（集合の数も要素の数も無限にあると想定される）のあちこちから（無限個の）要素を集めてその性質を分析できるというような意味だったと思います）。

「確率決定公理」の当否を論ずることは、私の理解を超えていますが、S.Uさんのコメントを拝読し、改めて気づいたことがあります。それは、この問題に含まれるパラドクスの基本構造は選択肢間の相互矛盾にほかならず、これは前段に含まれる「自己言及的確率問題」――それ自身パラドクスをはらんでいますが――を抜きにしても、依然パラドクスとして成り立つということです。

それはすなわち、

（（（Ｄ→Ａ）→Ｂ）→Ｃ）→非Ｄ　

要するに　

Ｄ→非Ｄ

という構造で、結局のところ、これはウソつきのパラドクスと同じものです。
こう考えると、依然として釈然としない点は残りますが、この問題の怪しげさの一端は分かった気がします。

そうですね。この問題は、そもそもは、ウソつきのパラドクスの発展形だと思います。

　公理の話は別観点の付け足しですが、私としては、生涯おそらく初めて「公理の新設」ということについて考えたので、もう少し勉強してから追求してみたいと思います。純粋数学の私の理解できる範囲の問題では、「確率決定公理」は、ほとんど既存の「選択公理」から定理として導けるような気がしています。

　本当は、どなたか集合公理論の数学に詳しい方に調べていただいて教えてもらうほうが早いですので、それが可能な方がおられればよろしくお願いします。