あたまの体操 20202020年07月26日 10時52分51秒

以下、雑談。
昔からウソつきのパラドクスというのがあります。

 Aさん「私の言うことはすべてウソです。」
 問題: Aさんの言っていることは本当か?

これはAさんの言っていることが本当であっても、ウソであっても、両方矛盾が生じるので、結局「真偽決定不能」というのが正解です。

   ★

このことをただちに連想しましたが、より手の込んだ問題を、昨日ツイッターで見ました。


どうです、なかなかインパクトのある問題ですよね。
貧すれば鈍すると言いますが、このコロナ禍で、ややもすると鈍しがちなので、ちょっと頭の体操をしてみます。

   ★

この問題には、いくつか論点があると思いますが、まず単純な論点から考えてみます。
問題文をちょっと変えて、以下のような問題だったら、どうでしょう?

「四択式の問題の答をランダムに選んだ場合、それが正解である確率は?」

答は25%?
いいえ、違います。これは当の「四択式の問題」の中身によって違ってくるので、あらかじめ正解はありません。つまり「正解はない」というのが正解です。

25%が正解といえるのは、「その中に必ず正解が1つ含まれており、しかも1つしかない場合」という前提条件が必要です。(たとえば、「東京を首都とする国はどれか? A:ニホン、B:ニッポン、C:ジャパン、D:ジャポン」という問題とか、あるいは「正義と猫はどちらが強いか? A:正義、B:猫、C:両方とも弱い、D:猫は正義である」という問題を考えれば、そのことは直ちにお分かりいただけるでしょう。)

繰り返しますが、「四択だから確率は25%」とはならないのです。

   ★

上の知見(というほど大したものではありませんが)を、本問題に当てはめてみます。

「この問題の答をランダムに選んだ場合、それが正解である確率は? A:25%、B:0%、C:50%、D:25%」

という問題も(選択肢の奇妙さには、ひとまず目をつぶりましょう)、冒頭の「この問題」の中身によって、その答は変わってきます。アプリオリに正解は決まりません。そして「この問題」というのが、まさに今問うている問題だとするならば、問題文は以下のように書き換えることができます。

「『この問題の答をランダムに選んだ場合、それが正解である確率は? A:25%、B:0%、C:50%、D:25%』という問題の答をランダムに選んだ場合、それが正解である確率は? A:25%、B:0%、C:50%、D:25%」

そして、ここにも「この問題」が再度出てくるので、これもさらに書き換えると、

「『【この問題の答をランダムに選んだ場合、それが正解である確率は? A:25%、B:0%、C:50%、D:25%】という問題の答をランダムに選んだ場合、それが正解である確率は? A:25%、B:0%、C:50%、D:25%』という問題の答をランダムに選んだ場合、それが正解である確率は? A:25%、B:0%、C:50%、D:25%」

となります。
こうして無限連鎖が生じて、問題自体がいつまでたっても確定しません。問題が確定しないのですから、それにランダムに答えたときの正解確率も決められない…というのが、この場合正解です。

   ★

ここで、きっと次のように考える人がいると思います。

「正解が決まらないということは、どれを選んでも不正解ということだよね。じゃあ結局、選択肢Bの0%が正解じゃないの?」
「あれ?そうすると、ランダムに答えると25%の確率で正答になるなあ。じゃあ、AとDが正解か?」
「あれあれ?すると、正解確率は50%になって、Cが正解?あれれれれ??」

これが、この問題の巧みなところです。

でも、落ち着いて考えれば、最初の「正解が決まらないということは、どれを選んでも不正解ということだよね」という部分が、そもそも間違っています。「正解が決まらないということは、どれを選んでも不正解かもしれないし、どれを選んでも正解かもしれないし、半々で正解かもしれない。予めどれか分からないから、『決まらない』と言うしかないんだよ」と、上の人には教えてあげる必要があります。

結局、正解は最後まで変わることなく、「この場合、正解確率は決定不能であり、A~Dの中から選ぶことはできない」となるわけです。


   ★   ★

さて、ここまで書いて、すっかり納得した気になりましたが、ふと疑問に思いました。
果たして、以下の問題にはどう答えればいいのか?

「この問題の答をランダムに選んだ場合、それが正解である確率は? A:25%、B:50%、C:100%、D:決められない」

これこそ真のパラドクスであり、これは相当な体操ではありますまいか?

コメント

_ S.U ― 2020年07月27日 08時49分40秒

面白そうな問題ですね。問題の正答率を問題にする問題は初めて見ました。それで、2,3質問させていただいてよろしいでしょうか。(玉青さんの最後に書かれている問題についての質問とお考え下さるようお願いします)

 この「この問題」というのは、まさに「この問題そのもの」という意味でしょうか? 始めのミリオネラの画面では"this"とあるので、まさにその意味だと思いますが、別の可能性として、ある提示可能な特定の問題(英語なら the、数学なら∃)、あるいは一般にあるどんな問題でもよい(英語なら a、数学なら∀)の場合の問題もありうるので、一応確認させて下さい。

2番目の質問として、「D:決められない」というのは、どういう意味でしょうか。確率なのだから、問題が決まっている場合(上でいうと、this と theの場合は、問題が決まっていると解釈します)は、確率は潜在的に決まっているはずなので、Dは不正解に決定と考えてよろしいのでしょうか?

 演繹的には無限連鎖を起こしても、完全にランダムならば計算機シミュレーションが可能なので実際にやってみればよいということになると思います。やると、「思考実験」だけで、A, B, C, Dそれぞれ25%になることは明らかです。問題は、問題の定義がはっきりしないことですが、thisあるいはtheの時はそれなりに決まっているのだから、それに矛盾しない答えはそれぞれの定義について帰納的に定まりそうに思いますがどうでしょうか。

 ただし、問題として成立しない、自己撞着的なパラドックスが残る可能性はあるように思います。たとえば、類似の問題として、A, B, Cがいずれも明らかに不正解の数値で、Dが「この4つの選択肢中に正解はない」という問題なら、Dが正解でも不正解でも自分に矛盾します。

_ 玉青 ― 2020年07月27日 22時21分37秒

お尋ねの点に関して言うと、1点目はまさに「今問うている、この問題そのもの」です。

2点目については、単に「その確率を決定することはできない」という意味です。あるいは、「この問題は、確率で答えることのできない性質の問題である」と言い換え可能かもしれません。私にはどうも、「問題が決まっている場合〔…〕は、確率は潜在的に決まっているはず」というステートメントが自明と思えなくて、ひょっとしたら、確率の決められない問題のほうが、この世には多いんじゃないかと感じています。(例えば、「神様がいる確率」とか、「来世で私が億万長者になる確率」とか、問うことはできても、答えられない問題って無数にありますよね。)

ですから、
「来世で私が億万長者になる確率は? A:25%、B:50%、C:100%、D:その確率を決定することはできない」
という設問だったら、答はCと言いたいところですが、まあ正解はDでしょう。

次いで本題の
「この問題の答をランダムに選んだ場合、それが正解である確率は? A:25%、B:50%、C:100%、D:その確率を決定することはできない」
も、正解はDだというのが、私の考えです。

ちなみに、上の問題は私の作問ミスで、選択肢Cは「75%」にした方が面白いです。

「この問題の答をランダムに選んだ場合、それが正解である確率は? A:25%、B:50%、C:75%、D:その確率を決定することはできない」

だったら、これまたDが正解とすると、ランダムにDを選ぶ確率は25%ですから、Aも正解になります。そしてDとAが両方正解ならば、Bも正解。さらにDとAとBが正解なら、Cも正解になって、結局、全部正解になる。「じゃあ、正解確率は100%で、どの選択肢も間違いじゃないか。あれれ?」…というわけです。

まあ。「確率を決定できない」んだったら、それが「25%」に決まるはずもないので、最初っからおかしいのですが、論理的にどこがどうおかしいのか、未だにうまく説明できません。

_ S.U ― 2020年07月28日 07時09分41秒

お答えありがとうございます。
おっしゃることは、すべて理解できたように思います。しかも、肯定的に理解しました。私もそのように思います。

 ただし、ことによっては、

「あることが起こる確率は、その定義に矛盾も曖昧さもない場合は、(潜在的に)決定している」

ということを一つの「公理」として導入することは可能なように思います。

 この「確率決定公理」を採用すると、玉青さんの設問でDは即座に不正答となり、「A:25%」のみが正答となって、何の矛盾も曖昧さも残りません。

 冒頭のミリオネア画面の問題は、いかなる選択肢の正答不正答の組み合わせも自己矛盾を来たしますよね。これら選択肢は確率定義の一部ですから、定義に矛盾があり公理以前に門前払いとなります。

 また、この公理によれば、「神様がいる確率」「来世で私が億万長者になる確率」は、神様の定義、存在の想定範囲、確率計算の基礎的手法(現存情報、推定原理の仮定など)、来世の決定可能性、億万長者の相場・・・など、必要な定義を補っていって曖昧さを消せば、確率は潜在的に決定していることになります。これは、あながち無理ではないでしょう。

 ただ、私にもこの公理が正しいかはわかりません。将来の量子力学の発展によって否定されるかもしれません。しかし、数学の「選択公理」に近いような感じがしますので、純粋数学としてはOKな気がします。(「選択公理」は一般的な複数の集合(集合の数も要素の数も無限にあると想定される)のあちこちから(無限個の)要素を集めてその性質を分析できるというような意味だったと思います)。

_ 玉青 ― 2020年07月29日 06時43分38秒

「確率決定公理」の当否を論ずることは、私の理解を超えていますが、S.Uさんのコメントを拝読し、改めて気づいたことがあります。それは、この問題に含まれるパラドクスの基本構造は選択肢間の相互矛盾にほかならず、これは前段に含まれる「自己言及的確率問題」――それ自身パラドクスをはらんでいますが――を抜きにしても、依然パラドクスとして成り立つということです。

それはすなわち、

(((D→A)→B)→C)→非D 

要するに 

D→非D

という構造で、結局のところ、これはウソつきのパラドクスと同じものです。
こう考えると、依然として釈然としない点は残りますが、この問題の怪しげさの一端は分かった気がします。

_ S.U ― 2020年07月29日 07時07分31秒

そうですね。この問題は、そもそもは、ウソつきのパラドクスの発展形だと思います。

 公理の話は別観点の付け足しですが、私としては、生涯おそらく初めて「公理の新設」ということについて考えたので、もう少し勉強してから追求してみたいと思います。純粋数学の私の理解できる範囲の問題では、「確率決定公理」は、ほとんど既存の「選択公理」から定理として導けるような気がしています。

 本当は、どなたか集合公理論の数学に詳しい方に調べていただいて教えてもらうほうが早いですので、それが可能な方がおられればよろしくお願いします。

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